Es handelt sich zwar um einen sehr intuitiven Aspekt der Statistik, der Vollständigkeit wegen sollte er aber nicht unerwähnt bleiben: Warum man Erwartungswerte addieren darf. Da Mittelwerte Schätzer von Erwartungswerten sind, gelten die Ausführungen auch für Mittelwerte.

Den meisten Besuchern wird wohl bekannt sein, dass beispielsweise der Erwartungswert einer Zufallsvariablen Z gegeben ist durch:

\displaystyle E\big[Z\big]=\sum\limits_{z} z \cdot P\big(Z=z\big)

Ersetzen wir Z  nun durch Z=X+Y  und definieren die Auftretenswahrscheinlichkeit eines Paares (x, y)  als p_{x,y}(x,y)=P\big(X=x, Y=y\big), dann ergibt sich:

\displaystyle E\big[X+Y\big]=\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} (x+y) \cdot p_{x,y}(x,y)=\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} \big(x\cdot p_{x,y}(x,y)+y\cdot p_{x,y}(x,y)\big)

Wir summieren nun also nicht mehr die Werte für eine Variable sondern für alle möglichen Kombinationen von x  und y. Die Summe können wir zweiteilen. Da es egal ist, ob wir zuerst über alle x  oder alle y  summieren, können wir die Summenzeichen des rechten Terms anschließend vertauschen.

\displaystyle E\big[X+Y\big]=\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} x\cdot p_{x,y}(x,y)+ \sum\limits_{x} \sum\limits_{y} y\cdot p_{x,y}(x,y)

\displaystyle E\big[X+Y\big]=\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} x\cdot p_{x,y}(x,y)+ \sum\limits_{y} \sum\limits_{x} y\cdot p_{x,y}(x,y)

Die wahre Vereinfachung tritt jetzt ein: Die Addition der Wahrscheinlichkeiten p_{x,y}(x,y)  für alle x  eines y  ergibt natürlich die Auftretenswahrscheinlichkeit p_{y}(y) für dieses konkrete y. Umgekehrt ergibt sich p_{x}(x). Übrigens kommen wir hier ohne die Annahme unabhängiger Ergeignisse für X  und Y  aus. Die Addition ist also auch für korrelierte Zufallsgrößen gültig!

\displaystyle E\big[X+Y\big]=\sum\limits_{x} x \cdot \sum\limits_{y} p(x,y)+ \sum\limits_{x} y\cdot \sum\limits_{y} p(x,y)

\displaystyle E\big[X+Y\big]=\sum\limits_{x} x \cdot p_{x}(x)+ \sum\limits_{y} y\cdot p_{y}(y)

Der letzte Schritt ergibt sich aus der Definition des Erwartungswertes. Damit sind wir auch schon am Ziel! 😉

E\big[X+Y\big]=E\big[X\big] + E\big[Y\big]

Die Herleitung basiert zwar auf diskreten Zufallsvariablen, aber man kann die Herleitung auch1:1 auf kontinuierliche Zufallsgrößen übertragen.

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