Warum man Erwartungswerte und Mittelwerte addieren darf

Es handelt sich zwar um einen sehr intuitiven Aspekt der Statistik, der Vollständigkeit wegen sollte er aber nicht unerwähnt bleiben: Warum man Erwartungswerte addieren darf. Da Mittelwerte Schätzer von Erwartungswerten sind, gelten die Ausführungen auch für Mittelwerte.

Den meisten Besuchern wird wohl bekannt sein, dass beispielsweise der Erwartungswert einer Zufallsvariablen $Z$ gegeben ist durch:

$\displaystyle E\big[Z\big]=\sum\limits_{z} z \cdot P\big(Z=z\big)$

Ersetzen wir $Z$ nun durch $Z=X+Y$ und definieren die Auftretenswahrscheinlichkeit eines Paares $(x, y)$ als $p_{x,y}(x,y)=P\big(X=x, Y=y\big)$ , dann ergibt sich:

$\displaystyle E\big[X+Y\big]=\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} (x+y) \cdot p_{x,y}(x,y)=\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} \big(x\cdot p_{x,y}(x,y)+y\cdot p_{x,y}(x,y)\big)$

Wir summieren nun also nicht mehr die Werte für eine Variable sondern für alle möglichen Kombinationen von $x$ und $y$ . Die Summe können wir zweiteilen. Da es egal ist, ob wir zuerst über alle $x$ oder alle $y$ summieren, können wir die Summenzeichen des rechten Terms anschließend vertauschen.

$\displaystyle E\big[X+Y\big]=\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} x\cdot p_{x,y}(x,y)+ \sum\limits_{x} \sum\limits_{y} y\cdot p_{x,y}(x,y)$

$\displaystyle E\big[X+Y\big]=\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} x\cdot p_{x,y}(x,y)+ \sum\limits_{y} \sum\limits_{x} y\cdot p_{x,y}(x,y)$

Die wahre Vereinfachung tritt jetzt ein: Die Addition der Wahrscheinlichkeiten $p_{x,y}(x,y)$ für alle $x$ eines $y$ ergibt natürlich die Auftretenswahrscheinlichkeit $p_{y}(y)$ für dieses konkrete $y$ . Umgekehrt ergibt sich $p_{x}(x)$ . Übrigens kommen wir hier ohne die Annahme unabhängiger Ergeignisse für $X$ und $Y$ aus. Die Addition ist also auch für korrelierte Zufallsgrößen gültig!