Um die Summe von Quadratzahlen zu erhalten (also 1+4+9+16+…) ist eine etwas unhandliche Formel notwendig. Vor einigen Monaten war ich bereits auf der Suche nach einer Herleitung für die besagte Formel – leider lastete allen Suchergebnissen der strenge Geruch der Numerik an. Der Beweis über das Verfahren der vollständigen Induktion ist zwar einleuchtend aber leider unanschaulich. Daher habe ich versucht eine an der angewandten Mathematik orientierte Herleitung zu basteln. Et voilà…

Der Ansatz

Nun, manchmal sind es eben die einfach Dinge im Leben. Stellen wir uns die Quadratzahlen als Blockpyramide vor: Die Grundfläche der einzelnen Blöcke wächst quadratisch, wenn man die Kanten verlängert. Wenn jeder Block mit der Höhe 1 über alle n Schichten derart wächst, ergibt das Volumen der Blockpyramide die Summer der ersten n Quadratzahlen. Damit wir uns das ganze besser vorstellen können, habe ich mal eine hübsche Grafik für n=4 vorbereitet.

Blockpyramide

Die Blöcke im inneren der gläsernen Pyramide ergeben in Form ihres Volumens die ersten vier Quadratzahlen.

Der eigentliche Kniff besteht aber darin, das Volumen dieser Blockpyramide zu berechen. Der aufmerksame Leser hat vielleicht schon bemerkt, dass unsere Blockpyramide von einer echten Pyramide mit quadratischer Grundfläche umgeben ist. Das Volumen dieser zweiten Pyramide ist leicht zu berechnen. Zieht man ein gewisses „Delta“ ab, kommt man auch auf das Volumen der Blockpyramide (und damit auf die Summer der Quadratzahlen). Je ein Beispiel für einen solchen Körper, aus denen die Differenz aufgebaut ist, sehen wir in nachfolgender Abbildung.

Deltas

Beispielhaft sind hier die beiden Körper eingezeichnet, deren Volumen letztlich vom Volumen der Normalpyramide abgezogen werden müssen.

Kurz und knapp:

\displaystyle \sum_{x=1}^{n}x^{2}=V_{Blockpyramide}=V_{Pyramide}-V_{Delta}=V_{Pyramide}-V_{Ecken}-V_{Kanten}

Die Sache mit den Ecken

Fangen wir also bei den Ecken an. Da jeder Block um 1 breiter und länger wird als der über ihm, beträgt die Fläche unter den Ecken jeweils 0,5². Die Ecke selbst ist eine schiefe Pyramide. Somit können wir das Volumen einer Ecke wie folgt angeben:

\displaystyle V_{Ecke}=\frac{1}{3}\cdot G \cdot h=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot 1=\frac{1}{12}

Da sie von konstanter Größe sind, brauchen wir die Ecken nur korrekt zu multiplizieren; 4 für jede Ebene der Blockpyramide sowie eine zusätzliche Ebene für die Spitze.

\displaystyle V_{Ecken}=4(n+1)\cdot V_{Ecke}=\frac{1}{3}(n+1)

Fertigstellung der Außenverkleidung

Dass Leisten und Brüche nicht nur in der Medizin eng verbandelt sind, zeigt sich an dieser Stelle. Zwischen den kleinen Pyramiden, welche unsere Ecken darstellen, platzieren wir auf jeder Ebene vier passende Leisten. Im Prinzip handelt es sich um Prismen mit rechtwinkliger dreieckiger Grundfläche. Ich möchte deren Volumen allerdings zunächst pro Längeneinheit (=1) angeben:

\displaystyle V_{LE}=\frac{1\cdot \frac{1}{2}}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}

Betrachten wir unsere Blockpyramide mal einfach von vorn. Wir stellen dann fest, dass die Anzahl der benötigten Stückchen Ebene für Ebene der Blockpyramide von oben nach unten mit der Breite der Blöcke zunimmt. Tatsächlich stellt die Summe an einer Seite eine arithmetische Reihe dar (1+2+3+4+…+n). Die Summenformel des Herrn Gauß hatte ich ja bereits in „Erwartungswerte diskreter Zufallsvariablen approximieren“ indirekt schon hergeleitet. Aber Google hilft euch auch sehr, wenn euch eine anschauliche Herleitung interessiert. Unter Zuhilfenahme der Summenformel können wir dann die Anzahl a der Prismenstückchen pro Pramidenseite angeben.

\displaystyle a=\frac{n(n+1)}{2}

Jetzt nur noch a für alle 4 Seiten hernehmen und mit dem Volumen der einzelnen Prismenstücke multiplizieren:

\displaystyle V_{Kanten}=4\cdot a \cdot V_{LE}=\frac{n(n+1)}{2}

Formulas in action…

Nun bringen wir alles zusammen. Wie eingangs erwähnt, gilt

\displaystyle \sum_{x=1}^{n}x^{2}=V_{Blockpyramide}=V_{Pyramide}-V_{Ecken}-V_{Kanten}.

Wäre also nur zu klären, welches Volumen die umgebende Pyramide eigentlich aufweist. Lasst einfach die Abbildung von ganz oben nochmals an eurem inneren Auge vorbeiziehen. Die umgebende Pyramide steht an der Grundfläche seitlich um 1 über. Genauso verhält es sich bei der Höhe. Mit der Formel für das Volumen einer Pyramide ergibt sich damit:

\displaystyle V_{Pyramide}=\frac{1}{3}\cdot G \cdot h=\frac{1}{3}(n+1)^{2}(n+1)=\frac{1}{3}(n+1)^{3}

Setzen wir nun ein, um die Summe der ersten n Quadratzahlen zu ermitteln:

\displaystyle \sum_{x=1}^{n}x^{2}=V_{Pyramide}-V_{Ecken}-V_{Kanten}=\frac{1}{3}(n+1)^{3}-\frac{1}{3}(n+1)-\frac{n(n+1)}{2}

Ich habe weder Kosten noch Mühen gescheut, diesen Ausdruck mithilfe des Weltklasse-CAS Maxima aufzulösen 🙂

\displaystyle \sum_{x=1}^{n}x^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

So in der Art steht es auch im Tafelwerk. Man kann diese Formel übrigens auch sehr schön über das Verfahren der vollständigen Induktion beweisen… aber darum ging es ja hier nicht 😉

Nachtrag: Hier findet ihr eine allgemeinere Herleitung der Summenformeln.

A geometric explanation of the formula of quadratic numbers >>