Ich lasse mich ja gern auf neue Standpunkte ein. Meinen Beitrag über die „Eine einfache Herleitung der Summe von Quadratzahlen“ halte ich nach wie vor für recht anschaulich. Allerdings ist der Ansatz dort nicht besonders generisch. Beispielweise können wir über die Summe kubischer Zahlen wie auch über die Summen höherer Ordnung keinerlei Aussage treffen. In einem Forenbeitrag habe ich von einem anderen Ansatz gelesen, welcher mich sehr beeindruckt hat. Daher möchte ich die Idee heute ausführlich darstellen.

Einfache Summenformel

Zur Herleitung der einfachen (oder auch Gaußschen) Summenformel müssen wir erstmal etwas Vorarbeit leisten. Wir definieren die Reihe (a_{n}) als Partialsumme von 1 wie folgt.

\displaystyle a_{n}=1+1+1+1+\dots=\sum\limits_{k=1}^{n}1=n

Wahrscheinlich wäre da auch jeder Grundschul-Graduierte drauf gekommen – um das Schema ordentlich zu demonstrieren, ist diese Definition aber sinnvoll 😉 Als nächstes definieren wir unsere Reihe für die einfache Summenformel. Definiertes Ziel ist ja die Erarbeitung einer expliziten Berechnungsvorschrift für dieses (b_{n}).

\displaystyle b_{n}=1+2+3+4+\dots=\sum\limits_{k=1}^{n}k

Auch wenn es zunächst vollkommen sinnlos erscheint, definieren zusätzlich noch eine Reihe (c_{n}), welche die Partialsumme über Quadratzahlen darstellt.

\displaystyle c_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\dots=\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}

Über diese Reihe wissen wir auch nicht mehr als über die gesuchte Summenformel. Doch diese zusätzliche Reihe wirkt wie eine Art Katalysator: Sie liefert einen Ansatz und eliminiert sich dann selbst, sodass sie im Ergebnis nicht mehr auftaucht. Der simple (und relativ einleuchtende Ansatz) sieht so aus:

\displaystyle c_{n}-c_{n-1}=\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^{2}=n^{2}

Nun gilt es, die Summe möglichst stark zu vereinfachen – und hier steckt auch der Trick drin: Ein Summenteil wird zu Null!

\displaystyle n^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}-\sum\limits_{k=2}^{n}(k-1)^{2}=\Big(\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}-(k-1)^{2}\Big)-0

\displaystyle n^{2}=\sum\limits_{k=1}^{n}(2k-1)=2\sum\limits_{k=1}^{n}k-\sum\limits_{k=1}^{n}1

Wir lösen nach der gesuchten Summe auf. Der Summand ganz rechts entspricht unserem (a_{n}) und wird damit zu n. Das Ergebnis ist die gesuchte Summenformel!

\displaystyle 2\sum\limits_{k=1}^{n}k=n^{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}1

\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}k=\frac{n^{2}+n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}=b_{n}

Summe von Quadratzahlen

Zur Ermittlung der Summe von Quadratzahlen gehen wir analog vor. Mit der Reihe (d_{n}) ergibt sich der folgende Ansatz:

\displaystyle d_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\dots=\sum\limits_{k=1}^{n}k^{3}

\displaystyle d_{n}-d_{n-1}=\sum\limits_{k=1}^{n}k^{3}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}k^{3}=n^{3}

Wir vereinfachen wieder die Summen.

 \displaystyle n^{3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\Big(k^{3}-(k-1)^{3}\Big)=\sum\limits_{k=1}^{n} 3k^{2}- \sum\limits_{k=1}^{n}3k+\sum\limits_{k=1}^{n}1=3c_{n}- 3b_{n}+a_{n}

Da wir (a_{n}) und (b_{n}) im vorhergehenden Abschnitt bestimmt haben, können wir die Ausdrücke substituieren und nach der gesuchten Reihe (c_{n}) auflösen:

\displaystyle n^{3}=3c_{n}- \frac{3n(n+1)}{2}+n

\displaystyle 3c_{n}=\frac{2n^{3} + 3n^{2}+n}{2}

\displaystyle c_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Summe kubischer Zahlen

Folgen wir dem Schema, kommen wir auch für kubische Zahlen schnell zu einer Summenformel. Der Ansatz wäre hier:

\displaystyle e_{n}-e_{n-1}=\sum\limits_{k=1}^{n}\Big(k^{4}-(k-1)^{4}\Big)=4d_{n}-6c_{n}+4b_{n}-a_{n}=n^{4}

Lasst uns nun wieder nach der gesuchten Größe d_{n} auflösen und die bereits bekannten Reihen durch ihre expliziten Berechnungsvorschriften substituieren.

\displaystyle d_{n}=\frac{n^{4}+6c_{n}-4b_{n}+a_{n}}{4}=\frac{n^{4}+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n}{4}

Et voilá:

\displaystyle d_{n}=\frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}

Fazit

Man könnte ewig so weiter rechnen; nur leider ist der Tag eben irgendwann zu Ende 😀 Der hier vorgeschlagene Weg ist gerade deshalb besonders elegant, weil man (mit etwas Rechenaufwand) die Summen beliebiger Polynome berechnen kann. Ich wünsche viel Vergnügen mit den gewonnenen Erkenntnissen 🙂

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