In meinen früheren Beiträgen habe ich bereits über Addieren und Multiplizieren von Mittel- und Erwartungswerten berichtet. Was das Dividieren angeht, möchte ich jedoch etwas zur Vorsicht mahnen. Man muss genau schauen, ob tatsächlich der Kehrwert vom Mittelwert gemeint ist!

Man bedenke folgendes Beispiel: Alex behält seine Autos in der Regel für ein Jahr, Ina zwei Jahre und Peter 9 Jahre. Im Mittel behalten sie die Autos also 4 Jahre. Heißt das nun, dass die drei Personen im Durchschnitt 10/4=2,5 Autos pro 10 Jahre besitzen? Sehen wir uns die Sache anhand des Bildes unten genauer an.

Das Reziproke des Mittelwertes der Besitzdauer entspricht nicht dem Mittelwert der Autos je 10 Jahre

Das Reziproke des Mittelwertes der Besitzdauer entspricht nicht dem Mittelwert der Autos je 10 Jahre

Wie man sieht, beträgt die tatsächliche Anzahl der Fahrzeuge pro 10 Jahre 5,4 statt nur 2,5. Das ist nur logisch. Schließlich gilt:

\displaystyle \frac{\sum \frac{1}{x_{i}}}{n}=\overline{\Big(\frac{1}{x}\Big)} \neq \frac{1}{\overline{x}}=\frac{n}{\sum x_{i} }

Analog gilt für Erwartungswerte:

\displaystyle \sum p_{i}\times \frac{1}{x}=\mathrm{E}\Big[\frac{1}{X}\Big]\neq \frac{1}{\mathrm{E}[X]}=\frac{1}{\sum p_{i} x}

Es ist also Vorsicht geboten, wenn durch Mittelwerte oder Erwartungswerte dividiert werden soll! Wen ein Beispiel interessiert, in dem die Division erlaubt ist, der schaue in meinen englischsprachigen Beitrag „Trapped: Dividing by means and expected values“.