Zum Überschlagen von Erwartungswerten kann es hilfreich sein, wenn man Erwartungswerte multipliziert. Dieser Beitrag zeigt, dass es legitim ist Erwartungswerte zu multiplizieren, wenn es sich – anders als beim Addieren von Erwartungswerten – um Erwartungswerte unabhängiger Zufallsvariablen handelt. Da Mittelwerte Schätzer von Erwartungswerten sind, gelten die Ausführungen auch für Mittelwerte.

Wie wir bereits wissen, ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen Z gegeben durch:

\displaystyle E\big[Z\big]=\sum\limits_{z} z \cdot P\big(Z=z\big)

Ersetzen wir Z nun durch Z=X \cdot Y und definieren die Auftretenswahrscheinlichkeit eines Paares (x, y) als p_{x,y}(x,y)=P\big(X=x, Y=y\big), dann ergibt sich:

\displaystyle E\big[X \cdot Y\big]=\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} x \cdot y \cdot p_{x,y}(x,y)

Handelt es sich um unabhängige Zufallsgrößen, dann gilt p_{x,y}(x,y)=p_{x}(x) \cdot p_{y}(y). Weil x und p_{x}(x) in der inneren Summe nur als konstante Faktoren auftauchen, können wir sie ausklammern:

\displaystyle E\big[X \cdot Y\big]=\sum\limits_{x} \sum\limits_{y} x \cdot y \cdot p_{x}(x) \cdot p_{y}(y)

\displaystyle E\big[X \cdot Y\big]=\sum\limits_{x} x \cdot p_{x}(x) \cdot \sum\limits_{y} y \cdot p_{y}(y)

Per Definition entspricht die innere Summe dem Erwartungswert E\big[Y\big] . Da dieser Erwartungswert konstant ist, kann er aus der äußeren Summe ausgeklammert werden.

\displaystyle E\big[X \cdot Y\big]=\sum\limits_{x} x \cdot p_{x}(x) \cdot E\big[Y\big]

\displaystyle E\big[X \cdot Y\big]= E\big[Y\big] \cdot \sum\limits_{x} x \cdot p_{x}(x)

\displaystyle E\big[X \cdot Y\big]= E\big[Y\big] \cdot E\big[X\big]

Damit ist gezeigt, dass man die Erwartungswerte von (unabhängigen) Zufallsvariablen multiplzieren darf! 😉

Read about multiplying means and expected values on Insight Things!