Zum Überschlagen von Erwartungswerten kann es hilfreich sein, wenn man Erwartungswerte multipliziert. Dieser Beitrag zeigt, dass es legitim ist Erwartungswerte zu multiplizieren, wenn es sich – anders als beim Addieren von Erwartungswerten – um Erwartungswerte unabhängiger Zufallsvariablen handelt. Da Mittelwerte Schätzer von Erwartungswerten sind, gelten die Ausführungen auch für Mittelwerte.
Wie wir bereits wissen, ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen gegeben durch:
Ersetzen wir nun durch und definieren die Auftretenswahrscheinlichkeit eines Paares als , dann ergibt sich:
Handelt es sich um unabhängige Zufallsgrößen, dann gilt . Weil und in der inneren Summe nur als konstante Faktoren auftauchen, können wir sie ausklammern:
Per Definition entspricht die innere Summe dem Erwartungswert . Da dieser Erwartungswert konstant ist, kann er aus der äußeren Summe ausgeklammert werden.
Damit ist gezeigt, dass man die Erwartungswerte von (unabhängigen) Zufallsvariablen multiplzieren darf! 😉
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