Herleitung der Bogenlänge einer Funktion

Im Alltag selten gebraucht und doch wichtig: Die Bogenlänge einer Funktion. Gemeint ist die Strecke, welche ein Graph innerhalb eines Intervalls $[a,b]$ bildet. Die Formel zur Berechnung für eine Funktion $f(x)$ lautet:

$\displaystyle s=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\big[f'(x)\big]^{2}}\,dx$

Und wie kommt man jetzt darauf? Ich habe mir einfach vorgestellt, wie ich so lange in die Funktion $f(x)$ „hineinzoome“, bis nur noch grobschlächtige Pixel erkennbar sind:

Skizze der minimalen Punktabstände

Horizontal folgen die Punkte einem Raster der Größe $dx$ . Der vertikale Abstand $dy$ hingegen ist beliebig. Er lässt sich mithilfe der ersten Ableitung $f'(x)$ angeben als:

$\displaystyle dy=f'(x)\cdot dx$

Gleichzeitig gilt gemäß Satz des Pythagoras für die Strecke zwischen jeweils zwei Punkten des Rasters:

$\displaystyle ds=\sqrt{\big(dx\big)^{2}+\big(dy\big)^{2}}=\sqrt{\big(dx\big)^{2}+\big(f'(x)\big)^{2}\cdot \big(dx\big)^{2}}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}} \, dx$