Doppeln beim Roulette

Damals, im Jahr 2010, betrat ich auf Teneriffa das erste mal ein Casino. Im Internet hatte ich einige Monate zuvor von der Strategie des „Verdoppelns“ oder „Doppelns“ beim Roulette gehört und wollte sie einmal ausprobieren. Man wählt dazu eine Farbe – Rot oder Schwarz – und setzt zunächst einen initialen (kleinen) Einsatz (z. B. 1€). Trifft die Kugel die gewählte Farbe, hätten wir schon unseren ersten Gewinn (1€) eingefahren. Verlieren wir, so setzen wir in der nächsten Runde den doppelten Betrag (2€) auf die gewählte Farbe. Sollten wir in dieser Runde gewinnen, erhalten wir das Doppelte des gesetzten Betrag (4€) und hätten nach Abzug der vorherigen Einsätze (in unserem Beispiel 3€) einen Euro Gewinn gemacht. Fällt in dieser Runde wieder ein Verlust an, dann verdoppeln wir den Einsatz immer weiter, bis wir gewonnen haben. Und obwohl ich damals zweimal innerhalb einer halben Stunde ca. 15€ Gewinn gemacht habe, stelle ich die Frage: Schlägt man beim Roulette so wirklich das Casino?

Der Betrag, den wir über die $n$ Runden einsetzen, wächst exponentiell von unserem initialen Einsatz $K_{1}$ auf $K_{n} \,$ . Die Formel des investierten Kapitals lässt sich einfach aus der geometrischen Folge ableiten und lautet:

$\displaystyle K_{n}=\frac{1-2^{n}}{1-2} \cdot K_{1}=(2^{n}-1) \cdot K_{1}$

Im Falle eines eintretenden Gewinnes erhalten wir $2^{n} \cdot K_{1}\,$ . Der Netto-Gewinn hingegen bleibt immer so groß wie unser initialer Einsatz $K_{1}$ (also z. B. 1€).

$\displaystyle G=2^{n} \cdot K_{1}-(2^{n}-1) \cdot K_{1}=K_{1}$

Nun haben Casinos aber Tisch-Limits; es kann demnach kein höherer Einsatz als beispielsweise 1000€ gesetzt werden. Man muss die Strategie im Beispielfall bei $n=9$ beenden. Der Verlust beträgt dann das insgesamt eingesetzte Kapital. Beschreibe die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der Versuche, bevor ein Erfolg mit Gewinn $g$ eintritt, so ergibt sich der folgende (sehr interessante) Erwartungswert:

$\displaystyle E(X)=\sum_{x=0}^{n} \Big(g_{x} \cdot P\big(X=x\big)\Big)=K_{1} \cdot P\big(X<n\big) + K_{n} \cdot P\big(X=n\big)$

$\displaystyle E(X)=K_{1}\Big(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\Big)-(2^{n}-1) \cdot K_{1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ = 0

In der Praxis gibt es dann noch die Sache mit der grünen „0“: Je nach Roulette-Spielart wird die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Setzen auf Rot oder Schwarz auf unter 1/2 geschmälert. Somit kommen wir unter Umständen sogar auf einen negativen Erwartungswert $E(X) \leq 0$ .